Se consideră determinanții $\displaystyle d=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix}$ și $\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} 4-a & a-1 \\ a+1 & 4-a \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle d=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(a)=1$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(2,4)$ și $\displaystyle C(3,m)$. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(2)+A(-2)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă pentru orice număr întreg $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} x-2, & x<2 \\ x^2-4x+4, & x\geq 2 \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)\cdot f(3)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0$, pentru orice $\displaystyle a<2$ și $\displaystyle b>2$.