Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A - B = A - I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle A \cdot A - xA = I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2(x+y-1) - xy$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 2 = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle x \ast 2 = 2 \ast x = 2$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \ast x = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+1}{x} = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2 + 2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} 3x^2 \operatorname{d}x = 7$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 2014$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n, n \ge 2$ știind că $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{f(x)}{x} \operatorname{d}x = \frac{13}{2}$.