Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr întreg.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=3-a$.

b) Pentru $\displaystyle a=8$, arătați că $\displaystyle A$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=8$, determinați matricea $\displaystyle A^{-1}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 5x - 5y + 30$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-5)(y-5) + 5$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x * x = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2-x}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-\frac{1}{x}) dx = e^2-1$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=x^2+\ln x+2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria mai mică strict decât 4.