Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 5A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A + \begin{pmatrix} x & y \\ -3 & -2 \end{pmatrix} = I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x+y+xy$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 1 = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle (x+1) \circ (x-3) = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)=2$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=3$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+2x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (2x+1)dx = 2$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-2x-1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.