Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ \frac{3}{4} & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați det $\displaystyle A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle B+C=A$.

c) Calculați $\displaystyle B \cdot B$ și verificați dacă $\displaystyle B \cdot B+B = O_2$, unde $\displaystyle O_2$ este matricea nulă de ordin 2.

Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție $\displaystyle x * y = x+y+12$ și $\displaystyle x \text{Oy} = xy+4x+4y+12$.

a) Arătați că $\displaystyle x \text{Oy} = (x+4)(y+4)$.

b) Arătați că $\displaystyle x \text{Oy} = x * y + 4x+4y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \text{O} x = 12$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ pentru $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} \frac{f(x)}{x-e}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x^2 - x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=e^x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.