Se consideră determinantul $\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ 1 & a^2 & b^2 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(1,0)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle D(m,n)$ este par pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

Se consideră inelul $\displaystyle (\mathbb{Z}_6, +, \cdot)$, unde $\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{5}\}$.

a) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ ecuația $\displaystyle \hat{3}x+\hat{2}=\hat{5}$.

b) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=x^3-x$.

c) Determinați numărul elementelor mulțimii $\displaystyle H=\{x \in \mathbb{Z}_6 | x^{10} = x\}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x} + \ln x$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)f(x) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \ln x dx$.

c) Arătați că $\displaystyle F(e-1)=\frac{e^2-4e+7}{2}$, unde $\displaystyle F:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$.