În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$, $\displaystyle A(0,2)$, $\displaystyle B(3,5)$ și $\displaystyle C(6,8)$.

a) Determinați ecuația dreptei $\displaystyle AC$.

b) Verificați dacă punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.

c) Demonstrați că aria triunghiului $\displaystyle AOB$ este egală cu aria triunghiului $\displaystyle BOC$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle 2A+2B$.

b) Arătați că $\displaystyle (A-B)(A+B) = A^2-B^2$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle A \cdot X = X \cdot B$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x}{x+e}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} f(x)$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2-6, & x \le 2 \\ x^2-a, & x > 2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=2$.

b) Pentru $\displaystyle a=8$, rezolvați ecuația $\displaystyle f(x)=0$.

c) Pentru $\displaystyle a=8$, stabiliți semnul funcției $\displaystyle f$.