Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2a+1 & 1 \\ 1-a & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ ştiind că $\displaystyle \det(A(a))=1$.

c) Determinaţi inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x \circ y = 2xy - 3x - 3y + 6$.

a) Calculaţi $\displaystyle 1 \circ 2$.

b) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = 2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle x \circ x = 2$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(- \infty, 2) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x-2}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)e^x}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (- \infty, 2)$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \le -\frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^e (x+1)f(x)dx=2\ln 2-1$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^e (f(x)+x f'(x))dx=1$.

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcţiei $\displaystyle g:[2,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{f(x)}$.