Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det B$.

b) Arătați că $\displaystyle AB=BA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B+xA)=1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20$.

a) Calculați $\displaystyle 4*5$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3*\dots*2014$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+3}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{12x}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (-1,1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e xf(x)dx=\frac{e^2}{4}$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$.