a) Calculați determinantul $\displaystyle \det(A)$ pentru $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

b) Calculați $\displaystyle A \cdot A$ pentru $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea inversă $\displaystyle A^{-1}$ pentru matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + X^2 + mX - 6$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -1$ , știind că $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt trei numere întregi consecutive.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 1$.

c) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \ln 2$.

b) Fie $\displaystyle F$ o primitivă a lui $\displaystyle f$. Arătați că $\displaystyle F'(x) = f(x)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$ și arătați că $\displaystyle \ln \frac{24}{27} ≥ \ln 4$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.