Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)+A(2)+...+A(n))=\frac{n^2(n+1)}{4}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=4(x+y)-xy$.

a) Calculați $\displaystyle 2*4$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=4-(x-4)(y-4)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x*x=x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln x-x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\ln x$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 0$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-3,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+8x+15)f(x)dx=2014$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f'(x)f(x)dx=-\frac{1}{144}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$ știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=a$, are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \frac{10}{9}$.