Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle A \cdot B$.

b) Calculați $\displaystyle det(A+B)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle X^2 = A$, unde $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ sunt numere reale.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + X + A$, unde $\displaystyle A$ este un număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle f(1) = 3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle a$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle g = X^2 - 2X + 1$.

c) Fie $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ rădăcinile polinomului $\displaystyle g=aX^3+aX^2+X+1$, $\displaystyle a e 0$. Determinați $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = -1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, ∞) → ℕ$, $\displaystyle f(x) = ln(x+1) - ln x$.

a) Calculați $\displaystyle f(e+1)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x → ∞} x f(x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2, ∞) → ℕ$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x+2)f(x) dx$.

b) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru orice $\displaystyle x ∈ (-2, ∞)$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] → ℕ$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$.