1. Arătați că numărul $\displaystyle \sqrt{12} + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{8}$ este natural.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x - 3$. Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției $\displaystyle f$ și axa absciselor.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 7^{2x+1} = 49$.

4. După o scumpire cu $\displaystyle 10\%$, urmată de o ieftinire cu $\displaystyle 10\%$ din noul preț, un produs costă 1980 de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle P(3,4)$, $\displaystyle Q(4,2)$ și $\displaystyle R(7,2)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle S$, știind că $\displaystyle PQRS$ este paralelogram.

6. Calculați cosinusul unghiului $\displaystyle A$ al triunghiului $\displaystyle ABC$ în care $\displaystyle AB=5$, $\displaystyle AC=7$ și $\displaystyle BC=8$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de $\displaystyle x * y = x+y-1$. Calculați $\displaystyle 2 * 3$.

2. Verificați dacă legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

3. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x^2) * x = 11$.

5. Arătați că $\displaystyle x * (x+2014) = (x+1012) * (x+1012)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

6. Determinați numărul real nenul $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * \frac{1}{x} = 1$.

Pentru fiecare număr real $\displaystyle m$ se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.1. Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

2. Calculați $\displaystyle A(0) \cdot A(1)$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(m)) = m$.

4. Calculați $\displaystyle A(2) + A(4) - 2A(3)$.

5. Verificați dacă matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ este inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

6. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care sistemul $\displaystyle \begin{cases} mx+y+z=0 \\ x+z=m \\ x+y=1 \end{cases}$ are soluția $\displaystyle (0,1,0)$.