a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = (a+2)(a-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Calculați inversa matricei $\displaystyle A(-1)$ în $\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (a,b)$ pentru care matricea $\displaystyle A(a) \cdot A(b)$ are suma elementelor egală cu $\displaystyle 24$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = 3(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle \frac{1}{1007} * \frac{2}{1007} * \dots * \frac{2014}{1007}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ care sunt egale cu simetricele lor față de legea „*”.

a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} \right)^{x+3}$.

a) Calculați $\displaystyle I_1$.

b) Arătați că $\displaystyle I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{2(n+1)} \le I_n \le \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.