Se consideră matricea $\displaystyle A(n) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \\ 0 & 2^n-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 1$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ știind că $\displaystyle A(n) \cdot A(1) = A(3)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ știind că $\displaystyle A(p) \cdot A(q) = A(pq)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + X^2 - 3X + 2$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle X^2-4$.

c) Arătați că $\displaystyle (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2 = 20$ știind că $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile lui $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+e^x$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4x+1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x+1)dx = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^3}\int_0^t f(x)dx = \frac{1}{4}$.