Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det (A(1))=-1$.

b) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle \det (A(m)) = 0$.

c) Determinați $\displaystyle A(a) \cdot A(a)^t$ astfel încât $\displaystyle A(a) \cdot A(a)^t = \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = 3+x+3y+xy-3$.

a) Calculați $\displaystyle 1*3$.

b) Arătați că $\displaystyle x*3=x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y=2$.

Funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x^2+4x+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-2)(x^2+4x+5) - (x-2)(2x+4)}{(x^2+4x+5)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n =$.

a) Arătați că $\displaystyle e^2+1$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1} - I_n =$ pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n = e^2$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.