Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \\ a & 2 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=8$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Determinaţi matricea $\displaystyle X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ știind că $\displaystyle A(1)X=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Se consideră $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ rădăcinile polinomului $\displaystyle f = {x}^{3}-2{x}^{2}+3x+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle f(1)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+{x}_{3}^{2}=-2$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle {x}_{1}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}=8$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{{x}^{2}}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle f(x)={x}^{2}+x+1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = \frac{11}{6}$.

b) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_{0}^{1} \frac{{x}^{n}}{f(x)}dx$. Arătaţi că $\displaystyle I_{n+1} \leq I_n$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Determinaţi numărul real pozitiv $\displaystyle a$ știind că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x+1}{f(x)}dx = \ln 3$.