Pentru fiecare număr real $\displaystyle x$ se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle A(x)+A(-x) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

c) Arătați că există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relația $\displaystyle A(1) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Calculați $\displaystyle f(-1)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile complexe ale polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră integrală $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$.

a) Calculați $\displaystyle I_1$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1}=e-(n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n = n!\left(e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.